Thứ Ba, 31 tháng 3, 2020
Thứ Năm, 26 tháng 3, 2020
Một câu hàm ẩn khó chọn hàm
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0; + \infty )$ thỏa mãn $f({x^2} + 3) + \displaystyle \frac{1}{x}f(3x + 1) = 4{x^2} + 3x.$ Tính $I = \int\limits_4^7 {xf'(x)dx.}$
A.$\frac{{934}}{{15}}$ B.$\frac{{936}}{{15}}$ C.$\frac{{932}}{{15}}$ D.$\frac{{938}}{{15}}$
Bài giải Đáp án A
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = f'(x)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = f(x) \end{array} \right.$
Khi đó $I = xf(x)\left| \begin{array}{l} 7\\ 4 \end{array} \right. - \int\limits_4^7 {f(x)dx = 7f(7) - 4f(4) - } \int\limits_4^7 {f(x)dx.}$
Từ $\displaystyle f({x^2} + 3) + \frac{1}{x}f(3x + 1) = 4{x^2} + 3x \Leftrightarrow xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2}$ $ \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf({x^2} + 3)dx} + \int\limits_1^2 {f(3x + 1)dx} = \int\limits_1^2 {(4{x^3} + 3{x^2})dx} $ $ \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {f({x^2} + 3)d({x^2} + 3)} + \frac{1}{3}\displaystyle \int\limits_1^2 {f(3x + 1)d(3x + 1)} = 22$
$ \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} + \frac{1}{3}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = 22 \Rightarrow \int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = \frac{{132}}{5}$
Hay $\displaystyle \int\limits_4^7 {f(x)dx = \frac{{132}}{5}.}$
Từ $\displaystyle xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(7) = \frac{{44}}{3}\\ f(7) = \frac{7}{2} \end{array} \right.$
Khi đó ta có $I = 7f(7) - 4f(4) - \int\limits_4^7 {f(x)dx = \displaystyle 7.\frac{{44}}{3} - 4.\frac{7}{2} - \frac{{132}}{5}} = \displaystyle \frac{{934}}{{15}}.$
A.$\frac{{934}}{{15}}$ B.$\frac{{936}}{{15}}$ C.$\frac{{932}}{{15}}$ D.$\frac{{938}}{{15}}$
Bài giải Đáp án A
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = f'(x)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = f(x) \end{array} \right.$
Khi đó $I = xf(x)\left| \begin{array}{l} 7\\ 4 \end{array} \right. - \int\limits_4^7 {f(x)dx = 7f(7) - 4f(4) - } \int\limits_4^7 {f(x)dx.}$
Từ $\displaystyle f({x^2} + 3) + \frac{1}{x}f(3x + 1) = 4{x^2} + 3x \Leftrightarrow xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2}$ $ \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf({x^2} + 3)dx} + \int\limits_1^2 {f(3x + 1)dx} = \int\limits_1^2 {(4{x^3} + 3{x^2})dx} $ $ \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {f({x^2} + 3)d({x^2} + 3)} + \frac{1}{3}\displaystyle \int\limits_1^2 {f(3x + 1)d(3x + 1)} = 22$
$ \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} + \frac{1}{3}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = 22 \Rightarrow \int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = \frac{{132}}{5}$
Hay $\displaystyle \int\limits_4^7 {f(x)dx = \frac{{132}}{5}.}$
Từ $\displaystyle xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(7) = \frac{{44}}{3}\\ f(7) = \frac{7}{2} \end{array} \right.$
Khi đó ta có $I = 7f(7) - 4f(4) - \int\limits_4^7 {f(x)dx = \displaystyle 7.\frac{{44}}{3} - 4.\frac{7}{2} - \frac{{132}}{5}} = \displaystyle \frac{{934}}{{15}}.$
Thứ Bảy, 21 tháng 3, 2020
Thứ Năm, 19 tháng 3, 2020
Thứ Ba, 17 tháng 3, 2020
Thử giải nhanh xem sao?
Ba bài sau đây các em thử làm trong một nốt nhạc nhé. Cho đáp án dưới phần nhận xét.
Bài 1. Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \displaystyle\frac{4}{{{{(x - a)}^2}}}.\displaystyle\left( {4 + \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} - \frac{{3x + 3}}{{\sqrt x }}} \right) = b.$ Tính $2a + b?$
Bài 2. Cho $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 2}} = 2.$Tính $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f(x) - 1} .\sqrt[3]{{5f(x) + 2}} - 6}}{{x - 2}}$
Bài 3. Cho $f(x)$ không âm và có đạo hàm trên $\left[ {0;1} \right]$ thỏa mãn $\left[ {2f(x) + 1 - {x^2}} \right].f'(x) = 2x.\left[ {1 + f(x)} \right];\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$ với $f(1)=1$.
Tính $\int\limits_0^1 {f(x)dx.}$
Bài 1. Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \displaystyle\frac{4}{{{{(x - a)}^2}}}.\displaystyle\left( {4 + \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} - \frac{{3x + 3}}{{\sqrt x }}} \right) = b.$ Tính $2a + b?$
Bài 2. Cho $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 2}} = 2.$Tính $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {f(x) - 1} .\sqrt[3]{{5f(x) + 2}} - 6}}{{x - 2}}$
Bài 3. Cho $f(x)$ không âm và có đạo hàm trên $\left[ {0;1} \right]$ thỏa mãn $\left[ {2f(x) + 1 - {x^2}} \right].f'(x) = 2x.\left[ {1 + f(x)} \right];\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$ với $f(1)=1$.
Tính $\int\limits_0^1 {f(x)dx.}$
Thứ Hai, 16 tháng 3, 2020
Vài lỗi về cực trị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Phân tích một lỗi sai học sinh hay mắc phải khi tìm cực trị của đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ sau:
Hỏi hàm số $y = f(\left| x \right| - 1) + 2020$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ sau:
. A.5
B. 4
C. 9 D. 11
Dưới đây là phân tích cụ thể cho bài toán
Chủ Nhật, 15 tháng 3, 2020
Một bài tích phân khó
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty )$ thỏa mãn $\displaystyle{x^2}f'(x) = xf(x)\ln (f(x)) + f(x);\,f(x)>0; \forall x \in (0; + \infty )$ và $f(1) =\displaystyle \frac{1}{{\sqrt e }}.$ Tính $\displaystyle\int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx.$}}
Lời giải:
${x^2}f'(x) = xf(x)\ln (f(x)) + f(x) \Rightarrow f'(x) = \displaystyle\frac{{f(x)\ln (f(x))}}{x} + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\ln (f(x))}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} dx = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} $
$ \Rightarrow \displaystyle\ln \left| {f(x)} \right| = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx - \frac{1}{x} + C $
$\Rightarrow \displaystyle\int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx = \ln \left| {f(x)} \right| + \frac{1}{x}-C$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{{\ln (f(x))}}{x} = $ $ \displaystyle{\left( {\ln (f(x)) + \frac{1}{x} - C} \right)^\prime }$ $\displaystyle= \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} - \frac{1}{{{x^2}}}.$
Đặt $u = \ln f(x)$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{u}{x} = u' - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow xu' - u = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{{xu' - u}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^3}}}$
$ \Rightarrow \displaystyle{\left( {\frac{u}{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow \frac{u}{x} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = - \frac{1}{{2{x^2}}} + c \Rightarrow u = - \frac{1}{{2x}} + xc$
$\Rightarrow\displaystyle \ln f(x) = - \frac{1}{{2x}} + xc \Rightarrow f(x) = {e^{ - \frac{1}{{2x}} + xc}}$.
Do $f(1) = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt e }} \Rightarrow c = 0 $ $\Rightarrow f(x) = \displaystyle{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}$. Vậy $I = \int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}}}{{{x^2}}}} dx.$
Tính $I$ bằng đổi biết số $t = - \displaystyle\frac{1}{{2x}}.$
Lời giải:
${x^2}f'(x) = xf(x)\ln (f(x)) + f(x) \Rightarrow f'(x) = \displaystyle\frac{{f(x)\ln (f(x))}}{x} + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\ln (f(x))}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} dx = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} $
$ \Rightarrow \displaystyle\ln \left| {f(x)} \right| = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx - \frac{1}{x} + C $
$\Rightarrow \displaystyle\int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx = \ln \left| {f(x)} \right| + \frac{1}{x}-C$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{{\ln (f(x))}}{x} = $ $ \displaystyle{\left( {\ln (f(x)) + \frac{1}{x} - C} \right)^\prime }$ $\displaystyle= \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} - \frac{1}{{{x^2}}}.$
Đặt $u = \ln f(x)$
$ \Rightarrow \displaystyle\frac{u}{x} = u' - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow xu' - u = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{{xu' - u}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^3}}}$
$ \Rightarrow \displaystyle{\left( {\frac{u}{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow \frac{u}{x} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = - \frac{1}{{2{x^2}}} + c \Rightarrow u = - \frac{1}{{2x}} + xc$
$\Rightarrow\displaystyle \ln f(x) = - \frac{1}{{2x}} + xc \Rightarrow f(x) = {e^{ - \frac{1}{{2x}} + xc}}$.
Do $f(1) = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt e }} \Rightarrow c = 0 $ $\Rightarrow f(x) = \displaystyle{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}$. Vậy $I = \int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}}}{{{x^2}}}} dx.$
Tính $I$ bằng đổi biết số $t = - \displaystyle\frac{1}{{2x}}.$
Thứ Sáu, 13 tháng 3, 2020
Gắn tọa độ cho câu 49 Trường Lương Thế Vinh năm 2020
Cho hình hộp $ABCDA'B'C'D'$ có đáy là hình bình hành tâm O và $AD=2AB=2a,\,c\text{os}\big(\widehat{AOB}\big)=\frac{3}{5}.$Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết $CD'\bot CF;\,BB'\bot ED$ và $d(CD;\text{AA}')=a\sqrt{3}.$Tính thể tích khối hộp $ABCDA'B'C'D'$.
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ C. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ C. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Thứ Năm, 12 tháng 3, 2020
Câu 49 mã 104 năm 2019
Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( a;b;c \right)$ ( $a,b,c$ là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
A. 12. B. 16. C. 20. D. 8.
Lời giải Đáp án C
Do $A\left( a;b;c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow c=0$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu.
Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến nên ta có $IA\ge R=\sqrt{5}$. Gọi hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là $M,N$ do hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên $MN=AM\sqrt{2}=\sqrt{2\left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)}\le \sqrt{2}R\Leftrightarrow IA\le R\sqrt{2}$
Từ đó ta có \[\sqrt{5}\le IA\le \sqrt{10}\Leftrightarrow 5\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\le 10\Leftrightarrow 4\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9\].
Các cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là: $\left( 0;\pm 2 \right),\left( 0;\pm 3 \right),\left( \pm 2;0 \right),\left( \pm 1;\pm 2 \right),\left( \pm 2;\pm 1 \right),\left( \pm 2;\pm 2 \right),\left( \pm 3;0 \right)$
Vậy 20 điểm $A$ thỏa mãn điều kiện đã cho.
Câu 48 mã đề 104 năm 2019
Câu 48: Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \right)\sqrt{{{4}^{x}}-m}=0$ ($m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. Vô số. B. $62$. C. $63$. D. $64$.
A. Vô số. B. $62$. C. $63$. D. $64$.
Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & {{4}^{x}}\ge m \\ \end{align} \right.$
$\left( 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \right)\sqrt{{{4}^{x}}-m}=0$ (*)
$\Leftrightarrow$$\left[ \left\{ \begin{align} & {{4}^{x}}-m=0 \\ & 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \\ \end{align} \right. \right.$$\Leftrightarrow$$\left[ \begin{align} & x={{\log }_{4}}m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & x=3\,\vee x={{3}^{-\frac{1}{2}}}\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$
Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt
khi (1) vô nghiệm hoặc (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) hoặc (1) có nghiệm
không trùng với nghiệm của (2) và (2) có một nghiệm không thỏa mãn điều kiện của
phương trình (*).
TH1. (1) vô nghiệm ${{\log }_{4}}m\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow m=1.$.
TH2. (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{4}}m=3 \\ & {{\log }_{4}}m={{3}^{-\frac{1}{2}}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m={{4}^{3}}=64 \\ & m={{4}^{{{3}^{-\frac{1}{2}}}}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=64$
Nhưng $m=64$ thì nghiệm $x={{3}^{-\frac{1}{2}}}$không thỏa mẫn điều kiện nên $m=64$(loại)TH2. (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{4}}m=3 \\ & {{\log }_{4}}m={{3}^{-\frac{1}{2}}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m={{4}^{3}}=64 \\ & m={{4}^{{{3}^{-\frac{1}{2}}}}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=64$
TH3. (1) có nghiệm không trùng với nghiệm của (2) và (2) có một nghiệm không thỏa mãn điều kiện của phương trình (*)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{4^3} \ge m\\
{4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} < m
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{4^3} < m\\
{4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} \ge m
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow {4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} < m \le 64.$
Do $m=64$ loại nên kết hợp 3 trường hợp ta có $m\in \left\{ 3;4;...;63 \right\}\cup \left\{ 1 \right\}$ Vậy có tất cả 62 số thỏa mãn.
Câu 47 mã đề 104 năm 2019
Câu 47. Cho hai hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}$ và $y=\left| x+1 \right|-x-m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất các các giải trị của $m$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng $4$ điểm phân biệt là
A. $\left( -3;+\infty \right)$. B. $\left( -\infty ;-3 \right)$. C. $\left[ -3;+\infty \right)$. D. $\left( -\infty ;-3 \right]$.
A. $\left( -3;+\infty \right)$. B. $\left( -\infty ;-3 \right)$. C. $\left[ -3;+\infty \right)$. D. $\left( -\infty ;-3 \right]$.
Lời giải Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm : $\frac{x-2}{x-1}+\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;0;-1;-2 \right\}$ . Với điều kiện trên, phương trình trở thành : $4-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-4+\left| x+1 \right|-x=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-4+\left| x+1 \right|-x$ với tập xác định , ta có: ${f}'\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\frac{x+1}{\left| x+1 \right|}-1
Bảng biến thiên:
Thứ Tư, 11 tháng 3, 2020
Câu 46 mã đề 104 năm 2019
Câu 46: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng $4$ và đáy là tam giác đều cạnh bằng $4$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là tâm của các mặt bên $AB{B}'{A}'$, $AC{C}'{A}'$ và $BC{C}'{B}'$. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng
A. $\frac{14\sqrt{3}}{3}$. B. $8\sqrt{3}$. C. $6\sqrt{3}$. D. $\frac{20\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải: Đáp án C
Do đáy là tam giác đều nên ${{V}_{B.MP{{P}_{1}}{{M}_{1}}}}={{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}={{V}_{A.MN{{N}_{1}}{{M}_{1}}}}$ ${{S}_{MNP}}=\frac{M{{N}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\frac{{{2}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3};M{{M}_{1}}=2$ ${{V}_{MNP.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}={{S}_{MNP}}.M{{M}_{1}}=2\sqrt{3}.$ Gọi K là trung điểm của N1P1. Ta có $d\left( C;\left( NP{{P}_{1}}{{N}_{1}} \right) \right)=CK=\frac{1}{2}C{{M}_{1}}=\frac{1}{2}\frac{4\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$
Do NP1PN1 là hình chữ nhật nên \[{{S}_{_{NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}}=NP.N{{N}_{1}}=2.2=4\] Vậy ${{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}=\frac{1}{3}{{S}_{_{NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}}.CK=\frac{1}{3}.4\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$
Từ đó ta có
${{V}_{ABCMNP}}={{V}_{MNP.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}+3.{{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}=2\sqrt{3}+3.\frac{4\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.$
Câu 45 mã đề 104 năm 2019
Câu 45: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;\,3;\,-2 \right).$ Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $2.$ Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $Q\left( -2;\,0;\,-3 \right)$. B. $M\left( 0;\,8;\,-5 \right)$.
C. $N\left( 0;\,2;\,-5 \right)$. D. $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right)$
Lời giải Đáp án D
Cách 1.
Do đường thẳng $d//Oz$
nên $d$ nằm trên mặt trụ có trục là $Oz$ và bán kính trụ là $R=2.$
Gọi $H$ là hình chiếu của
$A$ trên trục $Oz$, suy ra tọa độ $H\left( 0;\,0;\,-2 \right).$
Do đó ${{d}_{\left(
A,\,Oz \right)}}=AH=3.$
Gọi $B$ là điểm thuộc
đường thẳng $AH$ sao cho $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow B\left(
0;\,-2;\,-2 \right).$
Vậy $d{{\left( A,\,d
\right)}_{\max }}=5\Leftrightarrow \,\,d$l à đường thẳng đi qua $B$ và song song
với $Oz.$Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{align}
& x=0 \\
& y=-2 \\
& z=-2+t \\
\end{align} \right..$
Kết luận: $d$ đi qua điểm $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right).$
Cách 2
Gọi d là đường thẳng qua $M(a;b;c).$ Khi đó phương trình tham số của d là
$d:\left\{ \begin{align}
& x=a \\
& y=b \\
& z=c+t \\
\end{align} \right..$ Kết luận: $d$ đi qua điểm $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right).$
Cách 2
Theo bài ra ta có $d(oz;d)=2\Leftrightarrow d(o;d)\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4.$
Và $d(A;d)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}.$ Do đó $d(A;d)$ lớn nhất khi ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}$ lớn nhất. Ta có ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=4-{{b}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=-6b+13;\,\,b\in \left[ -2;2 \right]$. Do đó ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}$ lớn nhất khi $b=-2.$Lúc đó $a=0.$ Vậy ptts của d là $d:\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=-2 \\ & z=c+t \\ \end{align} \right..$
Vậy d qua $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right)$.
Câu 44 mã đề 104 năm 2019
Câu 44: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 3 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$, khi đó $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}$ bằng
A. $3$. B. $7$. C. $-9$. D. $\frac{{25}}{3}$.
Lời giải: Đáp án C
$J=\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}$$=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{2xf\left( x \right)\operatorname{d}x}$$=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-2\int\limits_{0}^{3}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}$
$={{3}^{2}}.f\left( 3 \right)-{{0}^{2}}.f\left( 0 \right)-2.9=-9$.
Xét
tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$.
Đặt $t=3x\Rightarrow
\operatorname{d}x=\frac{1}{3}\operatorname{d}t$ và $x=\frac{1}{3}t$.
Do
đó $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{3}tf\left( t
\right).\frac{1}{3}\operatorname{d}t}=\frac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}{tf\left( t
\right)\operatorname{d}t}$,
Xét
tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$.
Đặt $\left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}} \\ & \operatorname{d}v={f}'\left( x \right)\operatorname{d}x \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \operatorname{d}u=2x\operatorname{d}x \\ & v=f\left( x \right) \\ \end{align} \right.$.
Đặt $\left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}} \\ & \operatorname{d}v={f}'\left( x \right)\operatorname{d}x \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \operatorname{d}u=2x\operatorname{d}x \\ & v=f\left( x \right) \\ \end{align} \right.$.
Câu 43 mã đề 104 năm 2019
Câu 43. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{2}$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w$ thỏa mãn $w=\frac{5+iz}{1+z}$ là một đường tròn có bán kính bằng
A. $52$. B. $2\sqrt{13}$. C. $2\sqrt{11}$. D. $44$.
A. $52$. B. $2\sqrt{13}$. C. $2\sqrt{11}$. D. $44$.
Lời giải: Đáp án B
Giả sử $w=x+yi$,
với $x,y\in \mathbb{R}$
Ta có $w=\frac{5+iz}{1+z}$$\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=5+iz$$\Leftrightarrow z\left( w-i \right)=-w+5$.
Ta có $w=\frac{5+iz}{1+z}$$\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=5+iz$$\Leftrightarrow z\left( w-i \right)=-w+5$.
Lấy mô đun hai vế ta được $\sqrt{2}.\left| w-i \right|=\left| -w+5
\right|$
Khi đó $2[{{x}^{2}}+{{\left( y-1
\right)}^{2}} ]={{\left( 5-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10x-4y-23=0$
Vậy tập hợp
các điểm biểu diễn của số phức w đường tròn có bán kính $R=2\sqrt{13}$.
Thứ Ba, 10 tháng 3, 2020
Câu 42 mã đề 104 năm 2019
Câu 42. Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$có đồ thị như hình vẽ .
Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\frac{2}{3}$là
Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\frac{2}{3}$là
A. 6. B. 10. C. 3. D. 9
Bài toán giao điểm hay
Đề bài: Cho $m,n$ là hai số hữu tỉ sao cho phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|=m\sqrt{3}+n$ có 6 nghiệm phân biệt, trong đó 3 nghiệm dương có tổng bằng $2+\sqrt{3}.$Tính $6m+n?$
Theo bài ra thì $m,n>0.$
Xét phương trình ${{x}^{3}}-3x=-m\sqrt{3}-n$.
Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt như hình vẽ.
Khi đó ta có
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=0.$
Lúc đó phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x
\right|=m\sqrt{3}+n$ có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},-{{x}_{3}}.$
Theo bài ra ta có : ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=2+\sqrt{3}.$
Từ đó ta có ${{x}_{3}}=-\frac{2+\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $-{{x}_{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ là một nghiệm
của phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|=m\sqrt{3}+n$
Vậy $m\sqrt{3}+n=\left| {{x}_{3}}^{3}-3{{x}_{3}}
\right|=\frac{3\sqrt{3}+2}{8}$
$\Rightarrow m=\frac{3}{8};n=\frac{2}{8}.$ Chọn C
Câu 37 mã đề 104 năm 2019
Câu 37: Cho hàm số $f\left(
x \right)$,
hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và
có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình $f\left( x \right)>2x+m$ ($m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-4$. B. $m\le f\left( 0 \right)$.
có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình $f\left( x \right)>2x+m$ ($m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-4$. B. $m\le f\left( 0 \right)$.
C. $m<f\left(
0 \right)$. D. $m<f\left( 2
\right)-4$.
Câu 36 mã đề 104 năm 2019
