Một câu hàm ẩn khó chọn hàm

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0; + \infty )$ thỏa mãn $f({x^2} + 3) + \displaystyle \frac{1}{x}f(3x + 1) = 4{x^2} + 3x.$ Tính $I = \int\limits_4^7 {xf'(x)dx.}$ 
A.$\frac{{934}}{{15}}$                   B.$\frac{{936}}{{15}}$           C.$\frac{{932}}{{15}}$                  D.$\frac{{938}}{{15}}$

Bài giải                                                Đáp án A
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = f'(x)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = f(x) \end{array} \right.$
Khi đó $I = xf(x)\left| \begin{array}{l} 7\\ 4 \end{array} \right. - \int\limits_4^7 {f(x)dx = 7f(7) - 4f(4) - } \int\limits_4^7 {f(x)dx.}$ 
Từ $\displaystyle f({x^2} + 3) + \frac{1}{x}f(3x + 1) = 4{x^2} + 3x \Leftrightarrow xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2}$ $\Rightarrow \int\limits_1^2 {xf({x^2} + 3)dx} + \int\limits_1^2 {f(3x + 1)dx} = \int\limits_1^2 {(4{x^3} + 3{x^2})dx}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {f({x^2} + 3)d({x^2} + 3)} + \frac{1}{3}\displaystyle \int\limits_1^2 {f(3x + 1)d(3x + 1)} = 22$ 
$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} + \frac{1}{3}\int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = 22 \Rightarrow \int\limits_4^7 {f(t)d(t)} = \frac{{132}}{5}$ 
Hay $\displaystyle \int\limits_4^7 {f(x)dx = \frac{{132}}{5}.}$ 
Từ $\displaystyle xf({x^2} + 3) + f(3x + 1) = 4{x^3} + 3{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(7) = \frac{{44}}{3}\\ f(7) = \frac{7}{2} \end{array} \right.$ 
Khi đó ta có $I = 7f(7) - 4f(4) - \int\limits_4^7 {f(x)dx = \displaystyle 7.\frac{{44}}{3} - 4.\frac{7}{2} - \frac{{132}}{5}} = \displaystyle \frac{{934}}{{15}}.$