Câu 46 mã đề 104 năm 2019

Câu 46: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao bằng $4$ và đáy là tam giác đều cạnh bằng $4$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là tâm của các mặt bên $AB{B}'{A}'$, $AC{C}'{A}'$ và $BC{C}'{B}'$. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng

A. $\frac{14\sqrt{3}}{3}$.                                       B. $8\sqrt{3}$.                  C. $6\sqrt{3}$.              D. $\frac{20\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:            Đáp án C   

  

Vì thể tích cần tính có thể biểu diễn qua thể tích của lăng trụ. Do đó ta có thể giả sử lăng trụ đã cho là lăng trụ đều. Khi đó Cạnh bên của lăng trụ chính là chiều cao của lăng trụ. Hạ ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt vuông góc $AB,AC,BC$, khi đó ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC,BC$ Khi đó ${{V}_{ABCMNP}}={{V}_{MNP.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}+{{V}_{B.MP{{P}_{1}}{{M}_{1}}}}+{{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}+{{V}_{A.MN{{N}_{1}}{{M}_{1}}}}$ 
Do đáy là tam giác đều nên ${{V}_{B.MP{{P}_{1}}{{M}_{1}}}}={{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}={{V}_{A.MN{{N}_{1}}{{M}_{1}}}}$ ${{S}_{MNP}}=\frac{M{{N}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\frac{{{2}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3};M{{M}_{1}}=2$ ${{V}_{MNP.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}={{S}_{MNP}}.M{{M}_{1}}=2\sqrt{3}.$ Gọi K là trung điểm của N1P1. Ta có $d\left( C;\left( NP{{P}_{1}}{{N}_{1}} \right) \right)=CK=\frac{1}{2}C{{M}_{1}}=\frac{1}{2}\frac{4\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ 
Do NP1PN1 là hình chữ nhật nên \[{{S}_{_{NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}}=NP.N{{N}_{1}}=2.2=4\] Vậy ${{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}=\frac{1}{3}{{S}_{_{NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}}.CK=\frac{1}{3}.4\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$ 
Từ đó ta có 
${{V}_{ABCMNP}}={{V}_{MNP.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}+3.{{V}_{C.NP{{P}_{1}}{{N}_{1}}}}=2\sqrt{3}+3.\frac{4\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.$