Câu 45 mã đề 104 năm 2019

Câu 45: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;\,3;\,-2 \right).$ Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $2.$ Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây? 

 A. $Q\left( -2;\,0;\,-3 \right)$.                        B. $M\left( 0;\,8;\,-5 \right)$. 

 C. $N\left( 0;\,2;\,-5 \right)$.                           D. $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right)$

Lời giải                                                                                 Đáp án D 
Cách 1.

Do đường thẳng $d//Oz$ nên $d$ nằm trên mặt trụ có trục là $Oz$ và bán kính trụ là $R=2.$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên trục $Oz$, suy ra tọa độ $H\left( 0;\,0;\,-2 \right).$

Do đó ${{d}_{\left( A,\,Oz \right)}}=AH=3.$

Gọi $B$ là điểm thuộc đường thẳng $AH$ sao cho $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow B\left( 0;\,-2;\,-2 \right).$

Vậy $d{{\left( A,\,d \right)}_{\max }}=5\Leftrightarrow \,\,d$l à đường thẳng đi qua $B$ và song song với $Oz.$Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=-2 \\ & z=-2+t \\ \end{align} \right..$
Kết luận: $d$ đi qua điểm $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right).$
Cách 2

Gọi d là đường thẳng qua $M(a;b;c).$ Khi đó phương trình tham số của d là $d:\left\{ \begin{align} & x=a \\ & y=b \\ & z=c+t \\ \end{align} \right..$ 
Theo bài ra ta có $d(oz;d)=2\Leftrightarrow d(o;d)\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4.$ 
Và $d(A;d)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}.$ Do đó $d(A;d)$ lớn nhất khi ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}$ lớn nhất. Ta có ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=4-{{b}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=-6b+13;\,\,b\in \left[ -2;2 \right]$.  Do đó ${{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}$ lớn nhất khi $b=-2.$Lúc đó $a=0.$ Vậy ptts của d là $d:\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=-2 \\ & z=c+t \\ \end{align} \right..$ 
Vậy d qua $P\left( 0;\,-2;\,-5 \right)$.