Câu 49 mã 104 năm 2019

Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( a;b;c \right)$ ( $a,b,c$ là các số nguyên ) thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

 A. 12.                           B. 16.                        C. 20.                       D. 8. 

Lời giải                                                             Đáp án C 

Do $A\left( a;b;c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow c=0$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu. Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến nên ta có $IA\ge R=\sqrt{5}$. Gọi hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là $M,N$ do hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên $MN=AM\sqrt{2}=\sqrt{2\left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)}\le \sqrt{2}R\Leftrightarrow IA\le R\sqrt{2}$ Từ đó ta có $$\sqrt{5}\le IA\le \sqrt{10}\Leftrightarrow 5\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\le 10\Leftrightarrow 4\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9$$ . Các cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là: $\left( 0;\pm 2 \right),\left( 0;\pm 3 \right),\left( \pm 2;0 \right),\left( \pm 1;\pm 2 \right),\left( \pm 2;\pm 1 \right),\left( \pm 2;\pm 2 \right),\left( \pm 3;0 \right)$ Vậy 20 điểm $A$ thỏa mãn điều kiện đã cho.