Một bài tích phân khó

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty )$ thỏa mãn $\displaystyle{x^2}f'(x) = xf(x)\ln (f(x)) + f(x);\,f(x)>0; \forall x \in (0; + \infty )$ và $f(1) =\displaystyle \frac{1}{{\sqrt e }}.$ Tính $\displaystyle\int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx.$}}
Lời giải:
${x^2}f'(x) = xf(x)\ln (f(x)) + f(x) \Rightarrow f'(x) = \displaystyle\frac{{f(x)\ln (f(x))}}{x} + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}$ 
$\Rightarrow \displaystyle\frac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\ln (f(x))}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow \int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} dx = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx}$ 
$\Rightarrow \displaystyle\ln \left| {f(x)} \right| = \int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx - \frac{1}{x} + C$
$\Rightarrow \displaystyle\int {\frac{{\ln (f(x))}}{x}} dx = \ln \left| {f(x)} \right| + \frac{1}{x}-C$ 
$\Rightarrow \displaystyle\frac{{\ln (f(x))}}{x} =$ $\displaystyle{\left( {\ln (f(x)) + \frac{1}{x} - C} \right)^\prime }$ $\displaystyle= \frac{{f'(x)}}{{f(x)}} - \frac{1}{{{x^2}}}.$ 
Đặt $u = \ln f(x)$ 
$\Rightarrow \displaystyle\frac{u}{x} = u' - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow xu' - u = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{{xu' - u}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^3}}}$ 
$\Rightarrow \displaystyle{\left( {\frac{u}{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow \frac{u}{x} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = - \frac{1}{{2{x^2}}} + c \Rightarrow u = - \frac{1}{{2x}} + xc$ 
 $\Rightarrow\displaystyle \ln f(x) = - \frac{1}{{2x}} + xc \Rightarrow f(x) = {e^{ - \frac{1}{{2x}} + xc}}$.  
Do $f(1) = \displaystyle\frac{1}{{\sqrt e }} \Rightarrow c = 0$ $\Rightarrow f(x) = \displaystyle{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}$. Vậy $I = \int\limits_{ - 1}^{ - \frac{1}{2}} {\frac{{{e^{ - \frac{1}{{2x}}}}}}{{{x^2}}}} dx.$ 
 Tính $I$ bằng đổi biết số $t = - \displaystyle\frac{1}{{2x}}.$