Bài toán giao điểm hay

Đề bài: Cho $m,n$ là hai số hữu tỉ sao cho phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|=m\sqrt{3}+n$ có 6 nghiệm phân biệt, trong đó 3 nghiệm dương có tổng bằng $2+\sqrt{3}.$Tính $6m+n?$

A.1                     B. 3                C. $\frac{13}{4}$                     D. $\frac{11}{4}$

 Bài giải: 

Theo bài ra thì $m,n>0.$

Xét phương trình ${{x}^{3}}-3x=-m\sqrt{3}-n$.

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt như hình vẽ. Khi đó ta có

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=0.$

Lúc đó phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|=m\sqrt{3}+n$ có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},-{{x}_{3}}.$

Theo bài ra ta có : ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=2+\sqrt{3}.$ Từ đó ta có ${{x}_{3}}=-\frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Vậy $-{{x}_{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ là một nghiệm của phương trình $\left| {{x}^{3}}-3x \right|=m\sqrt{3}+n$

Vậy $m\sqrt{3}+n=\left| {{x}_{3}}^{3}-3{{x}_{3}} \right|=\frac{3\sqrt{3}+2}{8}$

$\Rightarrow m=\frac{3}{8};n=\frac{2}{8}.$ Chọn C