Câu 48: Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \right)\sqrt{{{4}^{x}}-m}=0$ ($m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. Vô số. B. $62$. C. $63$. D. $64$.
A. Vô số. B. $62$. C. $63$. D. $64$.
Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & {{4}^{x}}\ge m \\ \end{align} \right.$
$\left( 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \right)\sqrt{{{4}^{x}}-m}=0$ (*)
$\Leftrightarrow$$\left[ \left\{ \begin{align} & {{4}^{x}}-m=0 \\ & 2\log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}x-1 \\ \end{align} \right. \right.$$\Leftrightarrow$$\left[ \begin{align} & x={{\log }_{4}}m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & x=3\,\vee x={{3}^{-\frac{1}{2}}}\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$
Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt
khi (1) vô nghiệm hoặc (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) hoặc (1) có nghiệm
không trùng với nghiệm của (2) và (2) có một nghiệm không thỏa mãn điều kiện của
phương trình (*).
TH1. (1) vô nghiệm ${{\log }_{4}}m\le 0\Leftrightarrow m\le 1\Rightarrow m=1.$.
TH2. (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{4}}m=3 \\ & {{\log }_{4}}m={{3}^{-\frac{1}{2}}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m={{4}^{3}}=64 \\ & m={{4}^{{{3}^{-\frac{1}{2}}}}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=64$
Nhưng $m=64$ thì nghiệm $x={{3}^{-\frac{1}{2}}}$không thỏa mẫn điều kiện nên $m=64$(loại)TH2. (1) có nghiệm trùng với nghiệm của (2) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{4}}m=3 \\ & {{\log }_{4}}m={{3}^{-\frac{1}{2}}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m={{4}^{3}}=64 \\ & m={{4}^{{{3}^{-\frac{1}{2}}}}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=64$
TH3. (1) có nghiệm không trùng với nghiệm của (2) và (2) có một nghiệm không thỏa mãn điều kiện của phương trình (*)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{4^3} \ge m\\
{4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} < m
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{4^3} < m\\
{4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} \ge m
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow {4^{{3^{ - \frac{1}{2}}}}} < m \le 64.$
Do $m=64$ loại nên kết hợp 3 trường hợp ta có $m\in \left\{ 3;4;...;63 \right\}\cup \left\{ 1 \right\}$ Vậy có tất cả 62 số thỏa mãn.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét