Câu 47 mã đề 104 năm 2019

Câu 47. Cho hai hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}+\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}$ và $y=\left| x+1 \right|-x-m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Tập hợp tất các các giải trị của $m$ để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng $4$ điểm phân biệt là 
 A. $\left( -3;+\infty \right)$.        B. $\left( -\infty ;-3 \right)$.      C. $\left[ -3;+\infty \right)$.            D. $\left( -\infty ;-3 \right]$.

Lời giải                 Đáp án D 
Phương trình hoành độ giao điểm : $\frac{x-2}{x-1}+\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;0;-1;-2 \right\}$ . Với điều kiện trên, phương trình trở thành : $4-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\left| x+1 \right|-x-m\left( * \right)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-4+\left| x+1 \right|-x=m$ 

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-4+\left| x+1 \right|-x$ với tập xác định , ta có: ${f}'\left( x \right)=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+\frac{x+1}{\left| x+1 \right|}-1
Bảng biến thiên: 

Để $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ cắt nhau tại đúng $4$ điểm phân biệt thì phương trình $\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên suy ra tất cả các giá trị $m$ cần tìm là $m\le -3$ .