Câu 44 mã đề 104 năm 2019

Câu 44: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 3 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$, khi đó $\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}$ bằng

   A. $3$.                                B. $7$.                                      C. $-9$.                             D. $\frac{{25}}{3}$.

Lời giải:             Đáp án C

     Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$.

     Đặt $t=3x\Rightarrow \operatorname{d}x=\frac{1}{3}\operatorname{d}t$ và $x=\frac{1}{3}t$.

Do đó $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{3}tf\left( t \right).\frac{1}{3}\operatorname{d}t}=\frac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}$,

Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 3x \right)\operatorname{d}x}=1$.
Đặt $\left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}} \\ & \operatorname{d}v={f}'\left( x \right)\operatorname{d}x \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \operatorname{d}u=2x\operatorname{d}x \\ & v=f\left( x \right) \\ \end{align} \right.$.

$J=\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}$$=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-\int\limits_{0}^{3}{2xf\left( x \right)\operatorname{d}x}$$=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{3}-2\int\limits_{0}^{3}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}$ $={{3}^{2}}.f\left( 3 \right)-{{0}^{2}}.f\left( 0 \right)-2.9=-9$.